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Schulinfos von F. Töns

Einführung Skalarprodukt:
20231015_vek_skalarprodukt_einfuehrung.jpg

02.06.2026

Herleitung Skalarprodukt im Buch:
https://www.plusplanet.de/miscrawhtml/lina_Herleitung_Skalarprodukt_v20260601.md.html

05.05.2026

Hier noch das heutige Training zu den Ableitungsregeln von der Tafel: (ich hoffe, ich habe keine Fehler eingebaut)
20260505_tafeltraining.jpg

03.05.2026

Passwort für Aufgaben zur Klausurvorbereitung: Link zum Dokument

25.04.2026

Themen der Klausur am Freitag, den 8.Mai:

Themen, die auch schon in der alten Klausur drankamen:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen (anhand eines Graphen der Ursprungsfunktion) skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie

• Funktionenscharen: Alle Aspekte der Arbeit mit Funktionen auch bei Funktionen mit Parameter durchführen können, incl. Fallunterscheidungen (Hier sind z.B. auch Integrale denkbar, wo ein Parameter eingebaut ist)
• Grundlagen der Integralrechnung: Von der Änderungsrate zur Ursprungsgröße - Integrale rein grafisch bestimmen bzw. abschätzen können.
• Bedeutung von Integralen im Sachzusammenhang (von Geschwindigkeitsfunktionen auf die gefahrene Strecke schließen, von Tankraten auf getankte Menge schließen. Vgl. Einführungsseiten zu Integralen im Buch : Da sind sehr schöne Beispiele zusammengetragen.) Auch negative Werte von Integralen können im Sachzusammenhang sinnvoll sein.
• Stückweise definierte Funktionen und stetige und differenzierbare Fortsetzungen von Funktionen
• Integralrechung: Flächen zwischen Funktionen, Mittelwerte, ~~Rotationskörper~~, Integrale von stückweise definierten Funktionen

Themen, die relativ neu sind:
• Grundlagen von Exponentialfunktionen:
  • Einfache Exponentialfunktionen zeichnen können
  • Potenzgesetze beherrschen
  • Zahl e und Eigenschaften der e-Funktion, Untersuchung und Integration einfacher Funktionen diesen Typs
• Steckbriefaufgaben zu Exp ("Kochtopf-Aufgaben": 20220217_steckbrief_exp_kochtopf_luecke.jpg)
• Neue Ableitungsregeln:
  • Produktregel
  • Kettenregel
  • Quotientenregel
  • Ableitung der Umkehrfunktion
  • Ableitung von sin und cos.
• Integrationsmethode "partielle Integration" (Produktintegration)
• Beweise
  • Vorgehen bei direkten Beweisen
  • Vorgehen bei indirekten Beweisen
  • Konkrete Beweise: Quotientenregel

Grundlagen:
• Bruchrechnung, Potenzregeln, Gleichungen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen), Umgang mit dem WTR: Funktionswerte schnell mit der f(x)-Taste bestimmen, Variablen-zwischenspeicher nutzen.

Übungstipps:
• alte Klausur
• alte Aufgaben aus dem Lösungsarchiv (siehe Links zum Lösungsarchiv bei den alten Klausurthemen)
• Zu den Beweisen habe ich ein paar meiner Unterrichtsvorbereitungen für Euch zusammengestellt: https://www.plusplanet.de/miscrawdata/Beweise_buechlein_v20260413_edit_fuer_LK_Klausurvorbereitung.pdf
  Das sind fast alles Dinge, die wir auch im Unterricht hatten. Aber auch andere Dinge aus dem Unterricht könnte ich Euch beweisen lassen: z.B. die Quotientenregel: "Weise nach, dass eine Funktion der Gestalt f(x) =  u(x) / v(x) die Ableitung f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))² besitzt" - das war ja mal eine Hausaufgabe.
• neue Aufgaben aus dem Lösungsarchiv:

Biquadratische Gleichungen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_4
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_5

Lineare Gleichungssysteme (eigentlich eher nebensächlich!)
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_3

Exponential- und Potenzgleichungen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_4
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_5
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_6
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_7
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_8
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_9
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_10
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_11
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_12
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_13
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_14

Neue Ableitungsregeln
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_1 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_2 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_3 :NEU:

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_3_1 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_3_2 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_3_3 :NEU:

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_4_1 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_4_2 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_4_3 :NEU:

Integrale
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_1_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_6

Integrale und Flächen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_2

Funktionsuntersuchungen bei e-Funktionen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_11
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_12

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_1 :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_2 :NEU:
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_3~~ Fernverhalten bei e-Funktionen haben wir bislang nicht gemacht
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_4  :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_5  :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_6  :NEU:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_7  :NEU:
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_8~~  Fernverhalten bei e-Funktionen haben wir bislang nicht gemacht
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_9~~  Standardsymmetrie bei e-Funktionen haben wir bislang nicht gemacht
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_10  :NEU: Ohne Fernverhalten und Symmetrie

Funktionenscharen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_7
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_9

Steckbriefaufgaben bei Exponentialfunktionen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_4
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_5

26.02.2026

Themen der Klausur am Freitag, den 6.März:

Themen, die auch schon in der alten Klausur drankamen:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen (anhand eines Graphen der Ursprungsfunktion) skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie

• Funktionenscharen: Alle Aspekte der Arbeit mit Funktionen auch bei Funktionen mit Parameter durchführen können, incl. Fallunterscheidungen (Hier sind z.B. auch Integrale denkbar, wo ein Parameter eingebaut ist)
• Grundlagen der Integralrechnung: Von der Änderungsrate zur Ursprungsgröße - Integrale rein grafisch bestimmen bzw. abschätzen können.
• Bedeutung von Integralen im Sachzusammenhang (von Geschwindigkeitsfunktionen auf die gefahrene Strecke schließen, von Tankraten auf getankte Menge schließen. Vgl. Einführungsseiten zu Integralen im Buch : Da sind sehr schöne Beispiele zusammengetragen.) Auch negative Werte von Integralen können im Sachzusammenhang sinnvoll sein.

Seit der letzten Klausur kam neu dazu:
• Stückweise definierte Funktionen und stetige und differenzierbare Fortsetzungen von Funktionen
• Integralrechung: Flächen zwischen Funktionen, Mittelwerte, Rotationskörper, Integrale von stückweise definierten Funktionen
• Grundlagen von Exponentialfunktionen:
  • Einfache Exponentialfunktionen zeichnen können
  • Potenzgesetze beherrschen
  • Zahl e und Eigenschaften der e-Funktion, Untersuchung und Integration einfacher Funktionen diesen Typs
• Steckbriefaufgaben zu Exp ("Kochtopf-Aufgaben": 20220217_steckbrief_exp_kochtopf_luecke.jpg)

Grundlagen:
• Bruchrechnung, Potenzregeln, Gleichungen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen), Umgang mit dem WTR: Funktionswerte schnell mit der f(x)-Taste bestimmen, Variablen-zwischenspeicher nutzen.

Übungstipps:
• alte Klausur
• alte Aufgaben aus dem Lösungsarchiv (siehe Links zum Lösungsarchiv bei den alten Klausurthemen)
• neue Aufgaben aus dem Lösungsarchiv:

Biquadratische Gleichung
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_4   neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_5 neu

Lineare Gleichungssysteme (eigentlich eher nebensächlich!)
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_3

Exponential- und Potenzgleichungen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_1 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_2 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_3 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_4 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_5 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_6 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_7 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_8 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_9 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_10 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_11 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_12 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_13 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_14 neu

Integrale
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_1_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_3 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_6 neu

Integrale und Flächen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_1 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_2 neu

Funktionsuntersuchungen bei e-Funktionen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_11 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_12 neu

12.01.2026

Distanzunterricht am Montag, den 12.01.2026

Aufgabe: Berechne die Fläche, die von den beiden Funktionen f(x) = x³ und g(x) = x² + 2x eingeschlossen wird.

Am Dienstag habt ihr bitte die Lösung dieser Aufgabe abgabefertig und handschriftlich auf einem DinA4-Zettel dabei.

19.12.2025

Programmbausteine Prag
https://www.cts-reisen.de/klassenfahrten/alle-angebote/tschechien/prag/programmbausteine-prag.html

Rückmeldungen bitte über folgendes Rücksendeformular:

05.12.2025

Lösungshinweise für die heutige Stunde

S71 Nr9
a) 333⅓cm
b) Zuwachs, nicht Größe.

Nr10
a) Maximum von f  bei t=2.785 mit y=4,8217 (Randwerte sind kleiner!)
b) 4 + Integral = 4+ 18 = 22 cm³
c) Stelle Funktion mit variabler oberer Grenze auf und suche nach Maximum in [0;12]
   Oder suche nach Nullstellen von f, da dort die Kandidaten sind (warum?)
   Lösung: bei x = 7

Nr 11
a) 0,75 m/s
b) bei t=20 mit y= 1m/s
c) Integral = 22.5, plus 1m Starthöhe ergibt 23,5m
d) Löse Integral = 9 (mit variabler oberer Grenze)  (9 wegen 1m Starthöhe)
   Lösung bei t = ca. 16,635
e) fa(x) = a*f(x) und da bei c) das Integral =22,5 war bekommt man
   es mit dem Vorfaktor a=19/22,5 auf 20 Meter (Nutze Rechenregeln für Integrale)

Nr 12
a) -2 um eins erhöht ist -1
b) aus der 7 wird 7x
c) Integrand erst ausmultiplizieren!

15.11.2025

Themen der Klausur:

Themen, die auch schon in der alten Klausur drankamen:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen (anhand eines Graphen der Ursprungsfunktion) skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie
~~• Extremwertaufgaben ("Ziegenwiese", "Schachtel", etc.)~~
~~• Funktionsgraphen skizzieren können von Funktionen wie "f(x) = Abrunden(x)" oder "f(x) = x-Abrunden(x)" oder "f(x) = |x²-1|" usw.~~

Themen, die neu dazukommen:
• LGS lösen können (nur solche, die eine eindeutige Lösung haben)
• Steckbriefaufgaben: ganzrat. Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften finden.
• Funktionenscharen: Alle Aspekte der normalen Funktionsuntersuchung auch bei Scharen durchführen können, incl. Fallunterscheidungen
• quadratische Substitution
• Eigenschaften von Umkehrfunktionen: Spiegelung an erster Winkelhalbierenden, f(f(x)) = f(f(x)) = x
• Grundlagen der Integralrechnung: Von der Änderungsrate zur Ursprungsgröße - Integrale rein grafisch bestimmen bzw. abschätzen können.
• Bedeutung von Integralen im Sachzusammenhang (von Geschwindigkeitsfunktionen auf die gefahrene Strecke schließen, von Tankraten auf getankte Menge schließen. Vgl. S ... : Da sind sehr schöne Beispiele zusammengetragen.) Auch negative Werte von Integralen können im Sachzusammenhang sinnvoll sein.

Grundlagen: Bruchrechnung, Potenzregeln, Gleichungen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen), Umgang mit dem WTR: Funktionswerte schnell mit der f(x)-Taste bestimmen, Variablen-zwischenspeicher nutzen.
Ebenso müssen alle Inhalte der EF beherrscht werden (Ausnahme: Vektorrechnung - die kommt nicht dran!). Zum Üben eignen sich alte Vergleichsklausuren!

Übungstipps:
• alte Klausur
• alte Aufgaben aus dem Lösungsarchiv (siehe Links zum Lösungsarchiv bei den alten Klausurthemen)
• neue Aufgaben aus dem Lösungsarchiv:

Biquadratische Gleichung
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_4 neu

https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_5 neu

18.09.2025

12.08.2022

Vokabeln und Vereinbarungen in der Mathematik

Vokabeln
„Punkt“ und „Stelle“: Ein Punkt besteht aus x- und y-Koordinate, eine Stelle ist nur die x-Koordinate.
Beispiel: f(x) = -2x + 6 hat die Nullstelle x=3.
Die Funktion f(x) = x²+1 hat ihren Scheitelpunkt im Punkt (0|1)

„Notwendige Bedingung“ und „Hinreichende Bedingung“: Oft möchte man Aussagen über mathematisch beschreibbare Objekte (Funktionen, Gleichungen, Zahlen, geometrische Figuren etc.) in folgender Form machen:
Wenn (Objekt) die Eigenschaft A hat, dann hat es auch die Eigenschaft B.
In diesem Fall kann man sagen: Die Eigenschaft A ist hinreichend für Eigenschaft B.
Beispiel: Wenn eine Person einen LKW-Führerschein besitzt, so ist diese Person mindestens 18 Jahre alt. Die Umkehrung ist falsch: ~~Wenn jemand mindestens 18 Jahre alt ist, so hat die Person auch einen LKW-Führerschein~~. Anders gesagt: Die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein" ist hinreichend für die Schlussfolgerung "Person ist mindestens 18".
Und man kann andersherum sagen: Eigenschaft B ist notwendig für Eigenschaft A
Beispiel: Die Eigenschaft "Person ist mindestens 18" ist notwendig für die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein".
Oft interpretiert man notwendige Bedingungen andersherum: Wenn jemand noch keine 18 ist, kann die Person auch keinen LKW-Führerschein haben! (Nicht einmal die notwendige Bedingung ist erfüllt)

„Intervall“: Ein Intervall ist ein zusammenhängender Bereich von Werten (z.B. von x-Werten auf einer Achse).
Beispiele:
Das Intervall [2;3] Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 und auch 3
Das Intervall [2;3[ Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 aber nicht die 3

Zahlenmengen:
Natürliche Zahlen (Symbol ℕ): 1 2 3 4 5 6 7 (Die Null gehört je nach Autor dazu oder nicht)
Ganze Zahlen (Symbol ℤ): -1 0 1 -2 2 -3 3 usw.
Rationale Zahlen (Symbol ℚ): Alle als Bruch darstellbare Zahlen, aber nicht PI oder Wurzel aus 2
Reelle Zahlen (Symbol ℝ): Alle Zahlen auf der Zahlengeraden (also auch PI und Wurzel aus 2 etc.)
Komplexe Zahlen (Symbol ℂ ): (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen)

Dabei gilt: Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen. Die Ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der Rationalen Zahlen usw.

Der Begriff „differenzierbar“ ist synonym zu „ableitbar“: Es gibt Funktionen, die an bestimmten Stellen nicht ableitbar bzw. nicht differenzierbar sind.
Beispiel: Die Funktion f(x) = | x² - 1 | hat zwei Stellen, an denen sie nicht differenzierbar sind.