Light-Bot

Das LightBot-Spiel: www.plusplanet.de/swf_lightbotMUELL/lightbot.html

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Ein Karteikartenstapel zur Vergleichsklausur:
www.plusplanet.de/flashmeister

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Eine Übersicht über die "Operatoren" ist hier zu finden (Suche nach "Operatorenübersicht" auf jener Seite)
https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentralabitur-gost/faecher/fach.php?fach=2
Dort steht z.B. bei der Anweisung "Angeben", dass man ein Ergebnis ohne weitere Rechnung hinschreiben darf während die Anweisung "Ermitteln" auch einen Lösungsweg erfordert.

Einen Reader mit den alten Klausuren der letzten Jahre ist auf der Webseite von Herrn Walther zu finden:
http://www.walther-mathematik.de/jahrgangsstufe11/index11.htm
Ebenso sind dort die Lösungen hinterlegt. (Da muss man aber gesondert klicken)

Link zu den Beispielaufgaben des Ministeriums:
https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-klausuren-s-ii/faecher/
Dort dann nach unten scrollen - da sind dann die Beispielaufgaben für Mathematik. Erst ein Haufen Beispielaufgaben für den hilfsmittelfreien Teil, dann noch zwei Aufgaben für den zweiten Teil.

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Ergänzungen zur Musterlösung der VGL-Klausur 2016
A3: a1) Für das Aufstellen einer Geradengleichung benötigt man wie immer die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Zwei Punkte der Geraden sind gegeben. Daher können wir die Steigung der Geraden mit der bekannten "Steigungsformel" bestimmen: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Im vorliegenden Fall (vgl. Musterlösung) kommt hier nun m = -0,375 heraus.
Unsere Geradengleichung sieht bislang also so aus: g(x) = -0,375*x + b
Also fehlt uns noch der y-Achsenabschnitt b. Dazu setzen wir den bekannten Punkt T(9|1) in obige Funktionsgleichung ein (also 9 als x-Wert und 1 als y-Wert anstelle von g(x) ) (vgl. Musterlösung)
Damit erhält man b = 4,375 und man kann die Geradengleichung direkt angeben. Ob man die Werte von m und b nun als Kommazahlen oder als Bruch angibt ist unwichtig.

A3: a2) Wenn Geraden parallel verlaufen, dann haben sie die gleiche Steigung. Wir suchen also Tangenten mit der Steigung -0,375.
Außerdem wissen wir, dass die Ableitungsfunktion die Steigung von Tangenten bei entsprechenden x-Werten liefert. Wir bestimmen also zunächst die Ableitungsfunktion (vgl. Musterlösung)
Dann suchen wir die x-Werte, an der die Ableitungsfunktion den Wert -0,375 annimmt. Mathematisch gesagt suchen wir die Lösung folgender Gleichung:     f '(x) = -0,375
Der Befehl "ermitteln" (siehe Aufgabenstellung) erfordert nur das Aufzeigen von Lösungswegen, nicht jedoch die vollständige Berechnung "per Hand". Wir können die obige Gleichung also mit dem GTR lösen und erhalten zwei x-Werte (vgl. Musterlösung). In der Aufgabenstellung ist nur nach "Stellen" (also x-Werten) gefragt. Daher sind wir jetzt schon fertig. Es ist ausdrücklich nicht eine Tangentengleichung o.ä. verlangt!

A3: b1) Sinnvollerweise zeichnet man die Funktion mit dem GTR und fährt dann mit dem "Trace-Kreuzchen" den Graphen ab, um schnell Koordinaten von Punkten zu erzeugen, so dass man schnell den Graphen zeichnen kann.
A3: b2) (vgl. Musterlösung)
A3: b3) Die Musterlösung ist hier knapp. Wir erinnern uns kurz daran, dass man z.B. die Normalparabel p(x) = x² um 3 Einheiten nach links verschiebt, indem man das x durch (x+3) ersetzt: q(x) = (x+3)²
In der Aufgabe b3 muss das gleiche getan werden. Jedes x der Funktion f wird durch (x+3) ersetzt. In mathematischer Knappheit lässt sich das auch mit g(x) = f(x+3) angeben.

A3: c1) Beim Differenzenquotienten wird ja letztlich die bekannte Steigungsformel genutzt. Hier sieht man, dass die x-Werte 2 und 0,8 verwendet werden. In den Abbildungen sieht man, dass dann nur 2.3 in Frage kommen kann. Der Befehl lautet hier "gib an", und das heißt, dass man hier keine Begründung mehr schreiben muss.
A3: c2) (vgl. Musterlösung)

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Ergänzungen zur Musterlösung der VGL-Klausur 2017
A1: a) Eine Tangente ist eine Gerade. Wir suchen also eine bestimmte Geradengleichung bzw. eine bestimmte lineare Funktion. Die allgemeine Form einer solchen Funktion lautet (siehe "Ansatz" in der Musterlösung)
Wir benötigen hier die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b der Geraden (bzw. der Tangente).
Da man mit der Ableitungsfunktion f' jeweils die Steigung der Tangente bei einem bestimmten x-Wert berechnen kann (im vorliegenden Fall ist der x-Wert gleich 1), kann man mit f'(1) die Steigung m unserer Tangente bestimmen (siehe Musterlösung).
Wir wissen nun außerdem, dass die Tangente durch den Punkt (1|1) verläuft. Daher setzen wir den Punkt in unsere Geradengleichung ein. Nur noch das b ist die einzige Unbekannte in der Gleichung. Auflösen der Gleichung nach b liefert b=0. Damit ist die Gleichung der Tangente t(x) = 1*x + 0 oder y = x.
A1: b1) Wir stellen uns wieder vor, dass wir mit dem "Tangentenauto" die Kurve entlangfahren. Wir erinnern uns, dass bei Hochpunkten, Tiefpunkten und bei Sattelpunkten die Tangente die Steigung m=0 hat. Naheliegend ist es daher, die Koordinaten des Tiefpunktes zu nennen (also (0|0) ). Aber auch der Hochpunkt wäre möglich - nur leider ist er nicht so exakt ablesbar. Vermutlich liegt er irgendwo bei ca. (1,4 | 1,2).
Weitere Punkte mit der Eigenschaft "Tangentensteigung gleich Null" gibt es nicht.
A1: b2) Wenn die Ableitungsfunktion an einer Stelle negativ ist, so bedeutet das, dass die Ursprungsfunktion fällt. Die Intervalle, in denen die Funktion fällt, sind offenbar: ]-unendlich ; 0[ und ca. ]1,4 ; +unendlich[ . Aus diesen x-Wert-Bereichen benötigen wir nun einen Punkt auf dem Funktionsgraphen. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

A2:  (kommt vielleicht später)

A3: a) Bestimmung von Nullstellen einer Funktion bedeutet, dass man die Gleichung f(x) = 0 lösen muss (Vorsicht: es geht hier noch nicht um die Bestimmung von Extrempunkten, wo man den Ansatz f'(x) = 0 bei der notwendigen Bedingung wählt!). Man sieht, dass die Funktionsgleichung eine ganzrationale Funktion vierten Grades ist - d.h. dass man nicht so einfach mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung weiterkommt. Der Operator "Bestimme" in der Aufgabenstellung verlangt aber nur, dass man "Lösungswege aufzeigt", und deswegen muss man die Gleichung nicht rechnerisch "in Handarbeit lösen". Daher können wir zur Lösung der Aufgabe den GTR benutzen: Wir benutzen den Befehl "SolveN( ..... = 0)" und schreiben später ins Heft:

Ansatz: f(x) = 0   | Lösung mit GTR
  <=>   x ~ -2,61   oder x ~ -1,08   oder x ~ 1,08 oder x ~ 2,61

Hinweis: Oft können wir Gleichungen, in denen ein "x hoch 3" oder ein "x hoch 4" vorkommt, nur mit GTR lösen. In diesem Fall würden wir aber (wenn wir "Handarbeit" machen wollen) sogar mit dem Ansatz "biquadratische Gleichung" weiterkommen - das wäre aber relativ aufwändig.
Man sieht außerdem, dass die Teilaufgabe nur 3 Punkte liefert. Es kann also nicht sein, dass man hier sehr viel Zeit aufwendet. Die wenigen Punkte sind schon ein Hinweis darauf, dass eine GTR-Lösung genügt.

A3: b) Wenn man zeigen soll, dass x=2 eine Minimalstelle ist, dann kann man entweder das komplette Programm zur Bestimmung von Extrempunkten abspulen (viel zu auwändig) oder man begründet nur mathematisch und logisch exakt:
Wenn bei x = 2 eine Minimalstelle vorliegen muss, dann muss bei x=2 auf jeden Fall die Ableitung den Wert Null haben (genau das ist ja die notwendige Bedingung bei der Suche nach Extrempunkten). Es genügt also erstens zu zeigen, dass f'(2) = 0 ist.
Nun muss man zweitens noch nachweisen, dass dort tatsächlich ein Tiefpunkt liegt. Dass kann man z.B. nachweisen, indem man f''(2) berechnet und sieht, dass der Wert > 0 ist.

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Themen der Klausur
* Grundlagen: Funktionen im GTR zeichnen können, selbstständig das Zeichenfenster anpassen können, Funktionswerte berechnen können, mit dem GTR einen Hoch- oder Tiefpunkt ermitteln können.
* Grundlagen: Mit linearen/quadratischen Funktionen und Gleichungen umgehen können.
* Begriffe Tangente und Sekante. Steigungsformel für Sekanten können (y2-y2 / x2-x1). Diese Formel benötigt man, um mit der h-Methode Tangentensteigungen bestimmen zu können.
* Mit der h-Methode an einem bestimmten x-Wert die Steigung der Tangente an einer Funktion f ermitteln. Dabei darf nicht mehr vermutet werden, sondern es muss soweit umgeformt werden, dass wir den Grenzwert tatsächlich ermitteln können (Schreibweise mit dem Pfeil und h->unendlich ).
* Ableitungsregeln können und damit die Ableitungsfunktion einer Ursprungsfunktion ermitteln können.
* Zusammenhang Funktion und Ableitung so gut wie nur möglich begreifen. Dazu gehört: Ableitungsfunktion skizzieren können. Wenn-Dann-Sätze formulieren können (oder entscheiden können, ob ein Wenn-Dann-Satz korrekt ist). Aus dem Graphen einer Ableitungsfunktion Eigenschaften der Ursprungsfunktion ablesen können.
* Monotonietabelle einer Funktion mit Hilfe der ersten Ableitung erstellen
* Mit Hilfe der Monotonietabelle Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion ermitteln können.
* Einfache Anwendungsaufgaben lösen können. Unterschied durchschnittliche und momentane Änderungsrate kennen und Aufgaben dazu lösen können.



Übungshinweise zur Klausur:
Folgende Aufgaben aus dem Lösungsarchiv sind sinnvoll (aber sicherlich nicht ausreichend) zur Klausurvorbereitung:
(Die Lösungen zu den Aufgaben müssen von Euch aus dem Lösungsarchiv herausgesucht werden)

http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20180302_ableit_h.jpg
Und die Lösung: http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20180302_ableit.jpg

http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510j_abl_ganzrat_h.jpg
Und die Lösung: http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510j_abl_ganzrat.jpg

http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510k_abl_ganzrat_h.jpg
Und die Lösung: http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510k_abl_ganzrat.jpg

http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20180302_ableit_tang_h.jpg
Und die Lösung: http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20180302_ableit_tang.jpg

http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510c_aendrate_h.jpg
Und die Lösung: http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/20170510c_aendrate.jpg

Abgesehen von den obigen Aufgaben kann ich nur wieder die Grundlagenaufgaben empfehlen:
Terme
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen

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Ableitungen skizzieren und überprüfen lassen!
Bewege die Kontrollpunkte der blauen Funktion so, dass sie die Ableitung der schwarzen Funktion darstellt!
* Mit Reset Graph kann ein neuer schwarzer Graph erzeugt werden
* Show Accuracy zeigt einen Wert für die Genauigkeit der Schätzung an. Wer über 90% kommt, hat den Zusammenhang gut verstanden
* Show Results zeigt die wirkliche Ableitungsfunktion in rot (nicht mogeln!)

http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_try_to_graph.html

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Gleichungstypen:
20180131_Gleichungstypen_EF.jpg

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Klausurthemen zur Klausur am 15.12.2017

1. Stochastik: Mindestens eine Aufgabe zu bedingten Wahrscheinlichkeiten und 4-Feldertafel. Übungstipp: Im Lösungsarchiv die Aufgaben (im rot unterlegten Abschnitt "Stochastik") zur Vierfeldertafel. Aufgabe "In Brillenhausen... " komplett, die Aufgabe "Herr Löns... " nur Aufgabenteil B).

2. Funktionen:
2.1: Grundlagen: Begriffe Funktionswert, Nullstelle, y-Achsenabschnitt. Wertetabelle anlegen können. Satz vom Nullprodukt kennen. Schnittpunkte von Funktionen. Umgang mit Geraden und Parabeln. Umwandlung von quadratischen Funktionen: faktorisierte Form <-> ausmultiplizierte Form <-> Scheitelpunktform. Übungstipp: im Lösungsarchiv die Abschnitte "Grundlagen: Termumformungen" und "Lineare Gleichungen" und "Quadratische Gleichungen und Co.".
2.2: Funktionen / Formeln zu Folgen von Punktfiguren finden
2.3: Funktionen im Sachzusammenhang: Beispiele "Schachtel aus DinA4-Papier" und "Ziegenwiese" verstehen. Formel aufstellen können und das Ergebnis mit GTR ermitteln und deuten können. Im Fall Ziegenwiese wären wir sogar ohne GTR ausgekommen (Scheitelpunktform!). Eine Abwandlung dieser Aufgabe(n) wird drankommen.
2.4: "Von der Strecke zur Geschwindigkeit": Durchschnittsgeschwindigkeiten (d.h. durchschnittliche ÄR) berechnen können.

Hinweis: Auch wenn die Themen so unterschiedlich scheinen, so haben sie doch viel miteinander zu tun. Leider werden wir die Zusammenführung der Stränge erst nach der Klausur schaffen.

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Übungsaufgaben aus einer alten Klausur
20171017_Klausuruebung1.png
20171017_Klausuruebung2.png