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Schulinfos von F. Töns


25.11.2021
Themen für die Klausur am 03.12.2021

Die Themen aus der ersten Klausur können komplett(!) drankommen. Seit der letzten Klausur haben wir aber die zwei Themen
• Funktionenscharen
• Extremwertaufgaben
intensiver behandelt. Daher werden die Inhalte der ersten Klausur schwerpunktmäßig aus der Perspektive "Funktionenscharen" und "Extremwertaufgaben" behandelt.

Zusätzlich werden wir Ansätze der Integralrechnung behandeln. Dazu gehört:
• Wissen, dass Flächen zwischen Funktion und x-Achse eine Bedeutung in einem Sachzusammenhang haben und Flächen unterhalb der x-Achse "negativ gezählt" werden. Dabei hilft es, wenn man die Einheiten an x- und y-Achse multipliziert, um dann zu sehen, dass z.B. bei "Sekunden mal Meter pro Sekunde" die Sekunden weggekürzt werden können und die Flächenmaßzahl dann im Sachzusammenhang in "Meter" (und nicht etwa Quadratmeter) gemessen wird.
• Beispiele aus dem Unterricht verstehen: Aufzug auf S50 oben, S51 Nr1, S52 Nr3
• Die Integralschreibweise selbst nutzen und verstehen können.
• Integrale bestimmen können, indem man Dreiecks- oder Rechtecksflächen nutzt.
• Integrale mit dem GTR im Grafikmenü und im Rechenmenü bestimmen können.
Hinweis: Eure Nachhilfelehrerin, ein Lernvideo oder ein Schüler aus einem anderen Mathekurs wird euch vielleicht erklären wollen, dass man zur Berechnung von Integralen Stammfunktionen braucht, die man durch "Rückwärts ableiten" usw. bestimmt. So weit sind wir noch nicht! Im Buch werde ich nur die Inhalte bis Seite 57 drannehmen!

  • Grundlagen: Bruchrechnung, Potenzregeln
  • Nullstellen von Funktionen bestimmen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen!!!)
  • Ableitungen bilden können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!)
  • Ableitungen zu einer gegebenen Funktion skizzieren oder auswählen können.
  • Extrempunkte bestimmen mit anständiger Abhandlung der notwendigen und hinreichenden Bedingung
  • Monotonietabelle erstellen und interpretieren können
  • Wendepunkte bestimmen mit anständiger Abhandlung der notwendigen und hinreichenden Bedingung
  • Krümmungstabelle erstellen und interpretieren können
  • Fernverhalten bei ganzrationalen Funktionen
  • Symmetrieuntersuchung (Achsensym. und Punktsym. - durch Betrachtung der Exponenten bei einer ganzrationalen Funktion in Standardform) und ggf. Ausnutzung von Symmetrie
  • Steckbriefaufgaben: Bedingungen aufstellen können und die dabei entstehenden LGS mit dem GTR lösen können
  • Funktionenscharen: prinzipiell alle obigen Dinge auch bei Funktionen mit Parameter durchführen können.
  • Umgang mit dem GTR: Funktionen zeichnen können (Achtung: Betrachtungsfenster einstellen können!) Funktionswerte mit der Trace-Funktion ablesen können, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte bestimmen können.


Übungstipps zu Extremwertaufgaben:
Außer den im Unterricht gerechneten Aufgaben gibt es auf S28 und S29 einige Extremwertaufgaben, an denen man sich abarbeiten kann. Wichtig ist, dass ihr immer das "Rezept" einhaltet:
• Was soll minimal/maximal werden?
• Welche Nebenbedingungen gibt es? Diese formt man nach einer Variablen um.
• Zielfunktion aufstellen, die nur noch von einer einzigen Variablen abhängt (durch Einsetzen der Nebenbedingung).
• Extremwert berechnen (Je nach Aufgabenstellung mit GTR oder "per Hand").

Übungstipps aus dem Lösungsarchiv:
Alle Lösungsarchv-Tipps zur letzten Klausur sind unverändert gültig. Hinzu kommt:

Scharen: Alle "Funktionenschar"-Aufgaben aus dem Lösungsarchiv sind nun für uns lösbar - mit Ausnahme der Aufgabenteile zu "Ortskurven": Die Frage nach Ortskurven könnt ihr ignorieren!
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_7
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_9



09.11.2021
Fahrplan für heute:
• Notenbesprechung
• Aufgabe "Ziegenwiese Teil 1"
• Aufgabe "Ziegenwiese Teil 2"

Teil 1: Für eine Wiese soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden (s. Zeichnung). Es stehen 100m Zaun zur Verfügung. Der Zaun muss nur an drei Seiten des Rechtecks angebracht werden (der Fluss ist eine natürliche Grenze)
a) Wenn man a=10m wählt, so ergibt sich automatisch b=80m. Berechne die Größe der entstehenden Fläche.
b) Berechne die Fläche für a=20m und a=30m.
c) Finde einen Weg zur Ermittlung desjenigen Wertes für a, so dass der rechteckige Bereich maximal groß wird!

Teil 2: Für eine Wiese soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden (s. Zeichnung). Der Zaun muss nur an drei Seiten des Rechtecks angebracht werden (der Fluss ist eine natürliche Grenze). Diesmal ist die Aufgabe "umgedreht": Das Rechteck soll exakt 1000m² groß werden, wobei der Zaunverbrauch möglichst gering gehalten werden soll.
a) Wählt man a=20m so muss b=50m sein, damit man auf 1000m² Fläche kommt. Gib den Zaunverbrauch an.
b) Gib den Wert für b und den Zaunverbrauch an, wenn man für a die Werte a=25, a=30 bzw. a=35 wählt.
c) Finde einen Weg zur Ermittlung desjenigen Wertes für a, so dass der Zaunverbrauch möglichst gering ist.





29.09.2021
Themen für die Klausur am 08.10.2021

  • Grundlagen: Bruchrechnung, Potenzregeln
  • Nullstellen von Funktionen bestimmen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen!!!)
  • Ableitungen bilden können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!)
  • Ableitungen zu einer gegebenen Funktion skizzieren oder auswählen können.
  • Extrempunkte bestimmen mit anständiger Abhandlung der notwendigen und hinreichenden Bedingung
  • Monotonietabelle erstellen und interpretieren können
  • Wendepunkte bestimmen mit anständiger Abhandlung der notwendigen und hinreichenden Bedingung
  • Krümmungstabelle erstellen und interpretieren können
  • Fernverhalten bei ganzrationalen Funktionen
  • Symmetrieuntersuchung (Achsensym. und Punktsym. - durch Betrachtung der Exponenten bei einer ganzrationalen Funktion in Standardform) und ggf. Ausnutzung von Symmetrie
  • Steckbriefaufgaben: Bedingungen aufstellen können und die dabei entstehenden LGS mit dem GTR lösen können
  • Funktionenscharen: prinzipiell alle obigen Dinge auch bei Funktionen mit Parameter durchführen können.
  • Umgang mit dem GTR: Funktionen zeichnen können (Achtung: Betrachtungsfenster einstellen können!) Funktionswerte mit der Trace-Funktion ablesen können, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte bestimmen können.

Übungstipps aus dem Lösungsarchiv:

Grundlagen Termumformungen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_6

Grundlagen lineare Gleichungen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_6

Grundlagen quadratische Gleichungen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3

Ableiten
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_4

Funktionsuntersuchungen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_6
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_7
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_8
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_9
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_10
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_11
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_12
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_13
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_15
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_16
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_17
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_18

Steckbriefaufgaben
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_5

Scharen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3
:neu: 06.10.2021: Folgende Aufgaben sind für die Klausur noch zu knifflig und müssen nicht geübt werden:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8


15.09.2021

  
Eine allgemeine, ausmultiplizierte Form (Normalform) einer ganzrationalen Funktion sieht so aus:

          β
f(x) = α·x  + ... + d·x³ + c·x² + b·x + a

Dabei gilt: Die Vorfaktoren a,b,c... und α sind reelle Zahlen
Die Exponenten 1,2,3 ... β sind natürliche Zahlen.

Fernverhalten
Für das Fernverhalten ganzrationaler Funktionen gilt:
• Falls α > 0 und  β gerade:

         x → ∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ +∞         z.B. f(x) = 1·x²

         x →-∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ +∞  

• Falls α > 0 und  β ungerade: z.B. f(x) = 2·x³

         x → ∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ +∞

         x →-∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞

• Falls α < 0 und  β gerade: z.B. f(x) = -3·x²

         x → ∞    
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞

         x →-∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞
  
• Falls α < 0 und  β ungerade:
z.B. f(x) = -5·x³-100x²

         x → ∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞

         x →-∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ +∞
  
Vorsicht: Beispiel f(x) = x·(1-x) = x - x² = -x² + x
Also: Höchster Exponent gerade, Vorfaktor negativ
         x → ∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞

         x →-∞
   f(x) ‒‒‒‒‒‒‒→ -∞

Übung:
Untersuche auf: Nullstellen, Extrema, Wendepunkte,
Symmetrie, Fernverhalten
a) f(x) = -2x³ + 24x
b) f(x) = x·(x²-x)+2



01.09.2021
1. Wiederholung: Ableitungen Zeichnen: http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_try_to_graph.html
2. Erste und zweite Ableitung identifizieren: http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_first_second.html
3. Wo liegen die Wendepunkte? http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_shape_of_a_graph.html



25.08.2021

Übungs-App zum Zeichnen von Ableitungen (braucht etwas Zeit, bis es geladen ist. Ich bezweifle, dass es auf dem Handy anständig funktioniert - aber auf einem Rechner macht es Spaß! Man kann nämlich berechnen lassen, wie genau man war.)
http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_try_to_graph.html