www.plusplanet.de
Schulinfos von F. Töns


16.09.2022

Themen der Klausur:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
• Extremwertaufgaben ("Ziegenwiese", "Schachtel", "Aquarium", "Sportplatz")
• Funktionenscharen, also Funktionen mit Parameter auf alle möglichen Eigenschaften untersuchen können (z.B. Nullstellen, Extrem- oder Wendepunkte). Ortskurve von solchen Punkten.
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie
• Grundlagen: Bruchrechnung, Potenzregeln, Gleichungen (x ausklammern, SvNP und quadratische Gleichungen beherrschen), Umgang mit dem GTR: Funktionen zeichnen können (Achtung: Betrachtungsfenster einstellen können!) Funktionswerte mit der Trace-Funktion ablesen können, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte bestimmen können.
• Das Kapitel "ganzrationale Funktionen bestimmen" kommt NICHT dran!

1.2.1: Ganzrationale Funktionen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_4

1.4: Funktionsuntersuchungen
1.4.1: Ganzrationale Funktionen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_6
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_7
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_8
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_9
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_10
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_11
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_12
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_13
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_14
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_15
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_16
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_17
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_18

1.4.2: Funktionenscharen (ganzrational)
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_7
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_9


Grundlagentraining
1.1.1: Grundlagen: Termumformungen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_6

1.1.2: Lineare Gleichungen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_6

1.1.3: Quadratische Gleichungen und Co.
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3



Aufgabentipps (mit Lösungen) aus dem Buch
S14 Nr9 und 10
S17 Nr5
S21 Nr6 und 7
S26 Nr6 und 7 und 8
S29 Nr7 und 8
S36 Nr3
S38 Nr5
S41 Nr3,4,5
S42 Nr8,9
S44 Nr17




08.09.2022
Aquarium:
20220908_ext_aquarium_luecke.jpg



06.09.2022
Variante der Ziegenwiese:
20220906_094819crop.jpg.output.jpg


12.08.2022

Vokabeln und Vereinbarungen in der Mathematik


Vokabeln
„Punkt“ und „Stelle“: Ein Punkt besteht aus x- und y-Koordinate, eine Stelle ist nur die x-Koordinate.
Beispiel: f(x) = -2x + 6 hat die Nullstelle x=3.
Die Funktion f(x) = x²+1 hat ihren Scheitelpunkt im Punkt (0|1)

„Notwendige Bedingung“ und „Hinreichende Bedingung“: Oft möchte man Aussagen über mathematisch beschreibbare Objekte (Funktionen, Gleichungen, Zahlen, geometrische Figuren etc.) in folgender Form machen:
Wenn (Objekt) die Eigenschaft A hat, dann hat es auch die Eigenschaft B.
In diesem Fall kann man sagen: Die Eigenschaft A ist hinreichend für Eigenschaft B.
Beispiel: Wenn eine Person einen LKW-Führerschein besitzt, so ist diese Person mindestens 18 Jahre alt. Die Umkehrung ist falsch: Wenn jemand mindestens 18 Jahre alt ist, so hat die Person auch einen LKW-Führerschein. Anders gesagt: Die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein" ist hinreichend für die Schlussfolgerung "Person ist mindestens 18".
Und man kann andersherum sagen: Eigenschaft B ist notwendig für Eigenschaft A
Beispiel: Die Eigenschaft "Person ist mindestens 18" ist notwendig für die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein".
Oft interpretiert man notwendige Bedingungen andersherum: Wenn jemand noch keine 18 ist, kann die Person auch keinen LKW-Führerschein haben! (Nicht einmal die notwendige Bedingung ist erfüllt)


„Intervall“: Ein Intervall ist ein zusammenhängender Bereich von Werten (z.B. von x-Werten auf einer Achse).
Beispiele:
Das Intervall [2;3] Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 und auch 3
Das Intervall [2;3[ Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 aber nicht die 3


Zahlenmengen:
Natürliche Zahlen (Symbol ℕ): 1 2 3 4 5 6 7 (Die Null gehört je nach Autor dazu oder nicht)
Ganze Zahlen (Symbol ℤ): -1 0 1 -2 2 -3 3 usw.
Rationale Zahlen (Symbol ℚ): Alle als Bruch darstellbare Zahlen, aber nicht PI oder Wurzel aus 2
Reelle Zahlen (Symbol ℝ): Alle Zahlen auf der Zahlengeraden (also auch PI und Wurzel aus 2 etc.)
Komplexe Zahlen (Symbol ℂ ): (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen)

Dabei gilt: Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen. Die Ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der Rationalen Zahlen usw.

Der Begriff „differenzierbar“ ist synonym zu „ableitbar“: Es gibt Funktionen, die an bestimmten Stellen nicht ableitbar bzw. nicht differenzierbar sind.
Beispiel: Die Funktion f(x) = | x² - 1 | hat zwei Stellen, an denen sie nicht differenzierbar sind.

Teilbarkeit: Man sagt, eine Zahl n ∈ ℕ ist durch 3 teilbar, wenn gilt:
n = 3 · k  (mit k ∈ ℕ)

Beweise
Behauptung: Wenn das Absolutglied einer quadratischen Funktion negativ ist, so besitzt die Funktion zwei Nullstellen!
Behauptung falsch: Ein Gegenbeispiel wäre: f(x) = -x²  - 2 denn diese Funktion hat keine Nullstellen, obwohl das Absolutglied negativ ist.
( Merke: Um eine All-Aussage („Alle Funktionen mit der Eigenschaft A haben Eigenschaft B“) zu widerlegen, genügt ein einziges Gegenbeispiel)

Behauptung: Eine Funktion der Form f(x) = a·x² + b·x + c (wobei a,b,c reell sind) besitzt zwei Nullstellen, wenn gilt: a · c < 0
Bemerkung: Die Voraussetzung "a · c < 0" bedeutet umgangssprachlich nichts anderes, als "a und c haben unterschiedliche Vorzeichen"
Beweis: (kommt noch)

Behauptung: Wenn s die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist, dann ist s durch 3 teilbar.
Beweis: (kommt noch)